Eigenwerte einer orthogonalen Matrix

   kleinstes Subdiagonal-Element:
 
 
Matrix Transformation Eigenwerte    Anzahl Spalten (Zeilen):  

Hier wird eine Zufalls- Matrix geschrieben,wenn man "Neustart" drückt.
Maximal sind 12 Zeilen und Spalten möglich.

              

Erklärung:
Eine orthogonale Matrix wird mit Q R Zerlegung nach Gram–Schmidt aus einer Zufallsmatrix erstellt.
Wenn man die orthogonale Matrix Q in eine symmetrische und eine schief-symmetrische Matrix zerlegt, so sind in der symmetrischen Matrix die Cosinusse der Eigenwerte von Q, während in der schief-symmetrischen die Sinusse von Q stecken.
Ein Eigenwert der symmetrischen Matrix ist entweder zweifach der Realteil einen komplexen Zahl mit Betrag 1 oder der Wert oder die Werte mit 1 als auch -1.
Mit Householdertransformationen wird aus dieser Matrix eine (mathematisch) ähnliche Tridiaagonal-Matrix erzeugt. In einer Hessenbergmatrix mit Subdiagonale ohne Nullwerte existiert zu einem Eigenwert nur ein Eigenvektor. Mit der FR Zerlegung ist das leicht zu beweisen. Eine Tridiagonalmatrix ist auch eine Hessenbergmatrix. Noch dazu ist sie diagonalähnlich, jeder Eigenwert hat seinen eigenen Eigenvektor.
Wenn sich also mehrere gleiche Eigenwerte in einer symmetrischen Tridiagonalmatrix sich befinden, so muss mindestens ein Subdiagonalelement Null sein.
Hat man Pivotsuche bei der Transformation benutzt, so reicht es dann die Eigenwert des ersten Blockes zu ermitteln. Als Methode wird das Newton-Verfahren mit Bisektion angewendet.