Eine Methode zur numerischen Bestimmung  von Differential-Gleichungen

Die Differentialgleichung für einen eindimensionalen elastischen Träger lautet:

( y'' * B ) '' = p ( x )      B = Biegesteifigkeit, p ( x ) =Lastdichte

Einfachheitshalber wird   y 0 = y n + 1 = 0 , B= konstant   gesetzt.

k=0.... n + 1 ;    Interessierende Stützstellen, hk = x k - x k - 1

Man kann sie lösen, wenn man zwei mal hintereinander eine Gleichung der Form

- u '' = f ( x );     u 0, u n + 1 vorgegeben, hier 0.

auswertet.

Die Greensche Funktion für einen Abschnitt s ( Hier h k + h k + 1 )
zu Randbedingungen u ( 0 ) = 0, u ( s ) = 0 ist bekannt als
   G ( x , t ) = t * ( s - x ) / s | t <= x bzw. ( s - t ) * x / s | t >= x

Substituiert man u mit  z = u + L ( x ) |  L ( x ) homogene Lösung, so ändert das nur die Randbedingungen( - z '' = f ( x ) ).

Lk ( x ) = a * t + b soll so beschaffen sein,  dass  z k - 1 = z k + 1 = 0
 b = - u k - 1,  a = - ( u k + 1- u k - 1 ) / ( h k + h k + 1 )

z k = ∫ G ( t, h k ) * f ( t ) dt , t von 0 bis h k + h k + 1

uk= z k - L k;
L k = L k ( h k ) = - uk + 1 * h k / ( h k + h k + 1 ) - u k - 1 * h k + 1 / ( h k + h k + 1 )

Es ergibt sich das Gleichungssystem

- u k + 1 * h k / ( h k + h k + 1 ) + u k - u k - 1 * h k + 1 / ( h k + h k + 1 ) = ∫ G ( t, h k) * f ( t ) dt,
  t von 0 bis h k + h k + 1

A tridiagonal , und nur symmetrisch mit äquidistanten Stützstellen
Für lineare Differential-Gleichungen zweiter Ordnung gilt:
Im Gegensatz zur Finiten-Element-Methode erhalte ich die Lösung im eindimensionalen theoretisch genau.
Praktisch spielen natürlich Rundungsfehler und die Genauigkeit der Integrale eine Rolle.
Im mehrdimensionalen ist diese Methode wesentlich genauer als die Finite-Element-Methode (Genauigkeit 4.Ordnung, FEM 3.Ordnung ), für die homogene Gleichung (f(x)=0) erhält man eine optimale Matrix.
Damit die Matrix aber symmetrisch bleibt, ist eine Kombination dieser Methode mit der Finiten-Element-Methode zu empfehlen:
Größere einheitliche Bereiche werden äquidistant eingeteilt, Rand und Übergänge nach der Finiten-Element-Methode berechnet.
Man braucht auch die Greensche Funktion für den umgebenden(es) Polyeder / Vieleck nicht zu kennen. Eine Substitution einer stetigen Funktion auf dem eckigen Rand = 0 stimmt sowieso nicht. Mit kleinen Polynomen und kleinen Flächen lässt sich folgendes zeigen:
Das ideale Gebiet für die Greensche Funktion ist ein(e) Kugel / Kreis mit dem Radius √2 * Trägheitsradius des Polyeder / Vielecks.
Es reicht also die Greensche Funktion für den Mittelpunkt einer(es) Kugel / Kreises zu wissen.

Anmerkung:
es gibt zu dieser Methode zwei Varianten:

  1. Man legt eine Polynomlösung der homogenen DG durch alle Nachbarpunkte ohne den Mittelpunkt, und addiert es dann zur finiten Lösung des Mittelpunktes ( z. B. ein harmonisches Polynom für die Poisson-Gleichung ).
  2. Man legt eine Polynom durch Nachbarpunkte und Mittelpunkt. Im Integral taucht dann - als Summand - der Operator angewendet auf dieses Polynom auf.

    Ludwig Resch