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Integralformel von Gauß-Ostrogradski

cos(phi) ist also die Projektion der Normalen auf die Koordinate x1, wobei man hier als die Normale, die Projektion der Normalen in die x1-x2 Ebene verstehen soll, wenn die Dimension größer als zwei ist. Mit s der Schnitt von s mit dieser Ebene gemeint (sq) .

∫ ∫ ∫ ... f dx1 dx2 dx3... = ∫ ∫ ... F * cos(phi) dsq dx3...

oder

∫ f dA = ∫ F * cos(phi) ds

Ersichtlich, das gilt nicht nur für zwei Dimensionen. Wählt man statt der Koordinate x1 eine beliebige Richtung v:

  • F:  Skalare Funktion:
    ∫ <grad (F), v > dA = ∫ F * < v, n > ds
     
  • F:  Vektor-Feld:
    ∫ v T J v dA = ∫ < F, v > * < v, n > ds; J= DF (Jakobi-Matrix), und mit zwei Richtungen: v, w ∫ w T J v dA = ∫ < F, w > * < v, n > ds

Anmerkung: w T A v = Spur( v w T * A )

Ludwig Resch