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Matrizenfunktionen

Das Prinzip der Methode "Inverse Matrix aus Minimalpolynom" läßt sich auch auf andere Matrizenfunktionen anwenden. Vorausetzung:
a) Matrix sei diagonalähnlich.
b) Eigenwerte (Nullstellen des Minimalpolynoms) sind reell.*
c) Funktion f ist an den Eigenwerten der Matrik nicht singulär.
Unter diesen Einschränkungen ist es einfach die Matrizenfunktion zu berechnen. Ein Interpolationspolynom ist zu berechnen. Man bestimmt an den Eigenwerten als Stützstellen die entsprechenden Funktionsswerte als Stützwerte.

xi = λi; p(xi) = f(λi)

Dieses Polynom reicht, weil Matrizenfunktionen die gleichen Eigenvektoren wie die Matrix haben. Mit dieser Methode spart man sich die Berechnung der Eigenvektoren. Das Polynom ist vom Grad um eins kleiner wie der Grad des Minimalpolynoms. Ein Vorgehen das Polynom zu finden ist das Newtonsche Interpolationsverfahren. Wenn man dann die Koeffizienten gefunden hat, kann man mit dem Horner-Schema die Funktion berechnen. Diese Eigenschaft diagonalsierbarer Matrizen ist als Sylvester-Formel bekannt (1883).
Anwendung:
Für die polare Zerlegung einer Matrix muss man die Wurzel von ATA berechnen. Die Voraussetzungen sind gegeben weil ATA symetrisch positiv definit ist. Man muss dann nur noch die Eigenwerte der Matrix wissen.
Exponentialabbildung: Das Minimalpolynom von Householder-Spiegelungen und von sym. Hadamard-Matrizen ist x²-1 bzw. x²-n. Das interpolierende Polynom an den Nullstellen -1,1 oder ±SQRT(n) ist eine Gerade. Die Steigung ist sinh(1) bzw. sinh(SQRT(n)) und der Achsenabschnitt beträgt cosh(1) bzw. cosh(SQRT(n)). So einfach ist diese Matrizenfunktion A* sinh(1) + I *cosh(1) oder A* sinh(SQRT(n)) + I *cosh(SQRT(n)) zu berechnen.

* Für komplexe Eigenwerte ist eine komplexe Interpolation erforderlich, und zusätzlich müssten die Funktionswerte wieder konjungiert komplex für konjungiert komplexe Argumente sein.
Eigenwerte einer orthogonalen Matrix
Komplexe Interpolation

Ludwig Resch