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Inverse Matrix aus Minimalpolynom

M(A) Minimalpolynom von A (invertierbar). M(A) = M(lamda(k)) = 0, lamda(k): Eigenwert von A;  M(0) ungleich 0, da A invertierbar.
Multipliziert man M(A) mit einem Faktor welcher bewirkt, daß M' (0) = -1 und verschiebt dieses Polynom so, dass es duch den Nullpunkt geht:

M'(x) = - M(x) / M(0); P(x) = M'(x) + 1

dann ist P(0) = 0 und P(lamda(k)) = 1.    P(x) = ax + bx² + cx³..... Nun braucht man nur mehr durch x dividieren

P'(x) = P(x) / x

Das Polynom hat nun den Grad(P') = Grad(M) - 1

P'(lamda(k)) = 1 / lamda(k); P'(A) = Inverse (A)

Zusammengefasst:

P'(A) = ( 1 - M(x) / M(0) ) / x

Beispiel : Die Matrix 3 hat das Polynom x - 3
P'(A) = ( 1 - ( x - 3 ) / - 3 ) / x = ( 1 + x / 3 - 3 / 3 ) / x = x / 3x = 1 / 3
Für diagonalähnliche Matrizen leicht nachvollziehbar: Für AT = TD steht nun in der Diagonale statt lamda(k) :   1 / lamda(k) = P'(lamda(k))
Anwendungen:
Diagonalähnliche Matrizen mit Eigenwerten 1 und -1 - auschließlich - , sind sich selbst invers, wenn sie symetrisch sind, sind sie orthogonal. Das kann man auch anders leicht beweisen. Mit diesem Verfahren sieht man aber sofort:
Die Umkehrung gilt auch. Beispiel: Die punktsymetrische Lorentz-Transformation.

Änliches gilt bei den Eigenwerten i und -i: A-1 = - A

Andere Anwendungen:
Das Gleichungsystem A x = b hat die Lösung x = v - A-1 * y mit y = A v - b Nimm man für A-1 "Q(A)", eine Näherung von P'(A) und x k = x k - 1 - Q(A) * y k - 1, so erhält man eine allgemeinere Richardson - Iteration.

Ludwig Resch