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Quadratsummen Q

Man kann statt einer Householder-Transformation auch Givens-Rotationen verwenden, um bei einen Spaltenvektor Nullen unter dem Pivot-Element zu erzeugen. Multipliziert man alle Givens-Rotation zu einer Matrix, so entsteht eine orthogonale Hessenbergmatrix, die Quadratsummen Q.
Wieso der Name Quadratsummen Q?
Einfacher kann man diese Hessenbergmatrix über Quadratsummen erzeugen. Als erste Zeile nimmt man den Vektor v. Dieser sollte kein Element gleich 0 haben.* Die folgenden Zeilen stimmen mit v ab dem Diagonalelement überein. Das Subdiagonalelement berechnet sich so dass die Zeile zur Zeile darüber orthogonal wird. Der Wert ist damit die negative Quadratsumme ab Diagonale divdiert durch dem darüber liegenden Diagonalelement. Jetzt sind alle Zeilen orthogonal und man muss nur mehr normalisieren.
Eigenschaften:
Die Transformierte der Quadratsummen Q ergibt einen Eigenraum für Projektions Matrizen. v'vT, I-v'vT oder von Householder-Spiegelungen. Sie steht damit aber in Kongurrenz zur Householder-Matrix.

* Sonst ensteht keine Hessenbergmatrix mit Subdiagonalelemente ungleich Null.

Ludwig Resch