Auf den n Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit 2*r als Durchmesser sollen gleiche Einzelobjekte der Masse m sich in Ruhe im schwerelosen Raum
befinden. Wie groß ist die Schwerkraft?
Nach Newton ist eine einzelne Schwerkraft m1*m2 *G/d².
Die Resultierende für eine Masse zeigt wegen der Symmetrie zur Mitte des Vielecks. Alle Kräfte einzeln müssen mit dem Cosinus zur Resultierenden multipliziert und dann
aufsummiert werden. Der Abstand jeweils einer Masse zu m ist die dritte Seite eines gleichschenkeligen Dreiecks mit zwei Seiten der Länge r.
also ist d=2*r * sin(phi/2) wobei phi der Winkel am Mittelpunkt ist. Der Winkel von d zum Radius und damit zur Resultierenden ist (180°-phi)/2 = 90°-phi/2.
Cosinus von 90°-phi/2 beträgt also ebenfalls sin(phi/2). So ist die Einzelkraft m²*G/(4* sin(phi/2)* r²) weil sich sin(phi/2) einmal kürzt.
Sei phi0 =360°/n. Jeder Term mit phi < 180° wird symmetriehalber doppelt gezählt, bei geraden n ist zusätzlich ein Summand mit d=2r zu addieren.
Mit k = (n-1)/2 für ungerades n und (n-2)/2 für gerades n ergibt sich die Summe von i=1 bis k F= m²*G/(2* sin(i* phi0/2)*r²).
Bei geraden n fehlt dann noch m²*G/(4*r²). Wenn man m² *G/r² ausklammert hängt der Summenterm nur von n ab.
Ebenfalls wenn man 1/r² zur Energiedifferenz integriert (Kraft * Weg) ändert sich die n-abhängige Summe nicht.
Grund ist die geometrische Ähnlichkeit des Systems. Die Energie wächst mit der Masse. Interessant ist auch, dass die Summe dividiert durch n mit n wächst, also bei konstanter Gesamtmasse.
Mit der Teilezahl wächst die Energie, auch bei gleicher Gesamtmasse.
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