Frobenius-R Zerlegung

Erklärung:

FR Zerlegung

Hessenberg Matrix
1	a11	a12	...	a1n-1	a1n
0	a21	a22	...	a2n-1	a2n
..	..	...	...	...	...
0	0	0	...	ann-1	ann
Frobenius Matrix
	0	0	...	0	p_n
	1	0	...	0	p_n-1
	..	...	...	...	...
	0		...	1	p₁

Schreibt man links neben einer Hessenberg-Matrix eine 1,
sieht man neben der letzten Spalte eine Dreiecksmatrix.
Mulipiziert man links mit I = R * R^{- 1,}
entsteht die Zerlegung A = R * F

F ist die Frobenius-Matrix des charakteristischen Polynoms.

Die Determinante der Frobenius-Matrix steht dabei oben
rechts in der ersten Zeile ( p_n ).
Voraussetzung:
Die Subdiagonal-Elemente von A dürfen nicht null sein.
Eine Eigenwert-Bestimmung damit, entspricht der Methode von
Hyman ( p_n = 0 ).Verschiebt man den letzten Spaltenvektor der
Frobeniusmatrix um ein Kästchen nach oben, schreibt in die freie
Stelle darunter -1, so ergibt das den Eigenvektor (v) zum Eigenwert.
Weil: F * v = 0 = R * F * v = ( A - lamda * I ) * v

Diese Methode ist auch für die Invertierung von Matrizen geeignet, wenn die Determinante mit n nicht zu stark wächst, und die Subdiagonal-Elemente nicht zu klein sind.
Variante: Man nimmt einfach als x_n irgent einen Wert an, so kann man die R - Matrix invertieren
Die Unstimmigkeit in der ersten Zeile steht dann in linearer Abhängigkeit zum angenommenen Wert.
Der richtige Wert für x_n läst sich dann mit passener Methode ( z.B. Sekantenmethode) bestimmen.
Im Beispiel ist die Matrix eine Block-Hessenberg-Matrix.
Hier wird, anders als beim ADI -Verfahren, in jeder Zeile ein neuer Parameter verwendet.
Die Abweichungen werden damit vollständig herausgefiltert. Die neue erste Zeile liefert dann sofort das richtige
Ergebnis.
Andere Anwendung:
Das Gleichungsystem A x = b; mir der negativ definiten Tridiagonalmatrix , die -2 in der Hauptdiagalen, und 1 in der Subdiagonalen hat (Cebysev - Matrix), kann man fast ohne Multiplikationen lösen:
Mit FR sieht man sofort : Die Determinante dieser Matix beträgt ( n + 1 ). * -1 ⁿ, weil das Element der Frobeniusmatrix rechts oben - ( n + 1 ) beträgt.
Rekursion: p = R^{- 1} * b und d _k = p [ k ] - p [ k + 1 ] :
d [ n + 1 ] = 0; p [ n + 1 ] = 0;
for ( k = n ... 1) d _k = b[ k ] + d _{k + 1}; p [ k ] = p [ k + 1 ] + d _k end for
Mit der Determinante: x [ n ] = - p [ 1 ] / ( n + 1 )
Rekursion für x und d _k = x [ k ] - x [ k + 1 ] :
d [ n ] = x [ n ] ;
for ( k = n - 1 ... 1) d _k = b[ k + 1 ] + d _{k + 1}; x [ k ] = x [ k + 1 ] + d _k end for
Insgesamt ist für die Auflösung dieser Matrix beliebiger Größe nur eine Division notwendig, außer Subtraktionen und Additionen. Die gleiche Aufgabe mit der positiv definiten Cebysev - Matrix löst sich dann, wenn man -b statt b verwendet.

Frobenius-R-Zerlegung, R-Frobenius-Zerlegung
	schrittweise Iteration Iteration auf einmal			Lösung der Poisson-Differential-Gleichung mit dem Differenzenverfahren L ( U ) = f ( x, y ) rechteckiges Gebiet; h = 1; letzte Zeile, letzte Spalte sind Randwerte Mit der FR-Methode reicht eine einzige Iteration. Wegen des exponentiellen Zuwachses der Werte mit Rundungsfehler ist die Iteration leider auf 10 Zeilen beschränkt. Die Zahl der Spalten kann beliebig groß sein. Differenzengleichung: *4m - o - u - l - r = f * F** F Lastfunktion (Laplace=0)
	Zeilen Spalten Faktor f