Geometrie des Laplace-Runge-Lenz-Vektors

Bekanntlich ist die Richtung der Normalen einer Ellipse gleich der (negativen) Richtung der Winkelhalbierenden des Winkels der Strahlen zu den beiden Brennpunkten (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel). Die Winkelhalbierende teilt im Dreieck die gegenüberliegende Seite in Verhältnis der anliegenden Seiten.
Behauptung:
Der Radius r am Brennpunkt wird zu der Länge der Halbachse a ergänzt. Der Punkt S sei der Endpunkt. Dann ist die Stecke von S zum Mittelpunkt der Ellipse (M) parallel zur Winkelhalbierenden bzw. zur Normalen.
Beweis:
Eine weitere Parallele zu SM wäre die Verbindung r verlängert zu 2a zum zweiten Brennpunkt (2a/a=2e/e). Mit den Verhältnis der Winkelhalbierenden, die die Strecke 2e im Verhältnis (2a-r) zu r schneidet. (2a -r)/r =(2e-x)/x=2e/x-1=2a/r -1 also e/x=a/r. □
Mit geeigneter Skalierung (ski) von r und der Normalen (n) bekommt man a•A=sk1• ⃗n-sk2• ⃗r, wobei A ein Vektor ist. der in der Achse FM liegt.


Ludwig Resch