Eigenwerte einer orthogonalen Matrix

Jede quadratische Matrix lässt sich additiv in eine symmetrische und in eine schiefsymmetrisch Matrix zerlegen. Bei orthonormalen reellen Matrizen gibt es die Besonderheit bei dem der symmetrische Anteil die Realteile der Eigenwerte besitzt und der antisymmetrische Anteil enthält die Imaginärteile.
Beweis:
O=S+N, S symmetrische Matrix, N antisymmetrische Matrix. O^T *O =I ebeso wie O*O^T da O orthonormal. O,O^Tsind multiplikativ vertauschbar. Diagonalähnliche invertierbare Matrizen mit gleichen Eigenvektoren liegen in der selben abelschen Gruppe.
wichtig N^T=-N,
O^T *O =(S-N)*(S+N)=S²-N² -N*S +S*N =I oder
O*O^T=(S+N)(S-N)=S²-N² +N*S-S*N=I, also ist -N*S +S*N gleich +N*S-S*N, dieser Ausdruck ist die Null-Matrix da er gleich seinem negativen Wert ist.
Diese Eigenschaft I=S²-N² bleibt auch bei orthonormalen Ähnlichkeitstransformationen erhalten, weil das Produkt von orthonormalen Matrizen wieder orthonormal ist.
Transformiert man nun die symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt, so ist auch S² diagonal. Damit müsste unter der gleichen Transformation auch N²=-N^T*N =-N*N^Tdiagonal sein, da sich die Quadrate zu I ergänzen. S² hat offensichtlich positive Werte, N² negative, da das Quadrat einer antisymmetrischen negativ ist. Somit sind die Beträge der Diagonalmatrizen kleiner eins und sie ergänzen sich zu eins. Jetzt ist nur mehr zu beweisen das die Eigenwerte von N die Imaginärteile von den Eigenwerten von O sind.
Dabei ist es notwendig zwischen orthonormal und orthogonal zu unterscheiden. Weil -N^T*N eine Diagonalmatrix ist so ist das Skalar-Produkt zweier verschieden Zeilen Null, sie sind entweder zu einander orthogonal oder eine Zeile davon ist eine Nullzeile. Mit Permutations-Transformationen kann man nun die Matrix N in eine orthogonale und eine Null-Untermatrix trennen. Die orthogonale Untermatrix ist also sowohl schiefsymmetrisch als auch orthogonal. Wenn die Normalisierungsfaktoren für die Spalten von N nicht gleich sind so kann jede Zeile, Spalte nur einen Wert ungleich Null enthalten. Da die Orthogonalität von N bei der Normalisierung erhalten bleibt, so wäre die Schiefsymmetrie nicht mehr gewährleistet da jede Spalte der negative Vektor der Zeile beträgt. Aber was ist wenn der Normalisierungsfaktor gleich eins ist? Schließlich kann man N in Q*R zerlegen R ist damit Diagonalmatrix, und weil N^T = -N ist Q somit schiefsymmetrisch als auch orthonormal. Es ist zu zeigen diese Eigenschaft haben nur Matrizen die nur 1 oder -1 in jede Zeile und Spalte, alle anderen Werte sind Null. Angenommen es gibt diese und vielleicht weitere Matrizen die schiefsymmetrisch als auch orthonormal sind.
Wenn man die Spalten und die Zeilen mit der Folge 2,3,4.. multipliziert so hat man den Fall wie oben. Da jeder Faktor sowohl in der Zeile als auch in der Spalte vorkommt sind alle Normalisierungsfaktoren doppelt, wenn immer nur ein Wert pro Spalte (Zeile) existiert. So sind es die einzigen Matrizen die schiefsymmetrisch als auch orthonormal sind.
Schließlich kann man die Matrix O nachdem man den symmetrischen Anteil in eine Diagonale transformiert hat, mit Permutationstransformationen so umordnen, dass sie sich außer den Werten -1, 1 in der Diagonale und 2x2 Matrizen orthonormale Untermatrizen also Rotationsmatrizen besteht.
Anmerkung zum Thema:
Zwei gleich lange Vektoren kann man in Summe und Differenz zerlegen, welche zueinander orthogonal sind. Somit ist jede Zeile des symmetrischen Anteils einer orthogonalen Matrix zur gleichen Zeile des schiefsymmetrisch Anteils orthogonal. Geometrisch bedeutet das: Man kann drei gleichlange Maßstäbe so legen. Sie stellen dann drei der vier Halbdiagonalen eines Rechtecks dar, also eine einfache Konstruktion des rechten Winkels. Dieses Rechteck ist dann auch der geometrische Beweis vom Thales-Kreis.

Ludwig Resch