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Nach Newton beträgt die Schwerkraft zweier Massen F=G*m1*m2/D², D ist Abstand.
m1 soll 1 ME ( Masseneinheit) betragen und relativ klein zur Gesamtmasse sein.
Nimmt man einen kleinen Massenpunkt mp von m2 im Abstand d von m1 so ist diese Teilkraft ft= G*mp/d².
Es ist aber die Gesamtkraft zu bestimmen.
h sei das Lot von mp zu der Geraden von m1 in Richtung der Gesamtkraft, a die Länge der Strecke von m1 zum Fußpunkt vom Lot, so beträgt der
Anteil der Teilkraft f=ft *a/d = G*mp *a/ d³= G*mp*a/sqrt(a²+h²)³ nach Pythagoras und Kosinüsse.
Es soll die Schwerkraft an eine Hohlkugel (Radius R) bestimmt werden. m1 sei ld (in Längeneinheiten) von deren Mittelpunkt entfernt.
(Massendichte)*G =K. q ist die Projektion eines Punktes der Kugel auf die Gerade. Im Mittelpunkt: q=0. a ist dann (ld-q) so beträgt der Punktanteil:
f=K*(ld-q)/sqrt((ld-q)²+h²)³
Da h bei gleichem q an einem Schnittkreis (Richtung quer) gleich groß ist, reicht es, an einem Halbkreis (Längsrichtung)
zu integrieren, mit der modifizierten Massendichte K*2 *PI *h, also der Umfang des Schnittkreises mal K.
Als Integrationsweg ist der Kreisbogen s= R*phi zu nehmen. Mit h=R*sin(phi) und q=R*cos (phi) ist der Integrand:
(2*PI*K*R*sin(phi) *(ld -R*cos(phi))/sqrt ((ld-R*cos(phi))²+R²*sin(phi)²)³ )*R.
Nimmt man die relative Länge L = ld/R so kürzt sich R heraus, die Längeneinheit steckt in der Massendichte.
Weiter kann man vereinfachen mit sin²+cos²=1 zu:
Integral K*2*Pi*(L-cos(phi))*sin(phi)/sqrt( L(L-2*cos(phi))+1)³ von 0 bis Pi
Dieses Integral ist elementar lösbar (Substitution z =cos(phi)) und ergibt die Lösung:
4 *PI*K/ L² für L größer als 1, 0 für L kleiner 1, unstetig für L=1 (nicht lösbar).
Innerhalb der Hohlkugel heben sich positive und negative Kräfte auf - keine Schwerkraft.
So kann man sehr einfach die Schwerkraft eines Sternes berechnen. Außerhalb der Oberfläche ergibt sich m1*G*Gesamtmasse/D²,
innerhalb ist nur mehr die Masse des verbleibenden Restkern zu berücksichtigen, ohne die Massen der oberhalb der zurückgelegten Weges liegenden Kugelschalen.
Und wenn die Dichte nicht zu stark zunimmt:
Die Schwerkraft nimmt so stetig ab, bis zum Mittelpunkt. Die maximale Schwerkraft ist somit an der Oberfläche.
Ludwig Resch
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